Comment calculer les coordonnées mathématiques d'un point dans un repère et coordonnées maths d'un vecteur .
✍ Calcul de coordonnées topographique
Le cercle horizontal (ou limbe) est la graduation du théodolite sur laquelle l'opérateur lit les angles horizontaux. Il est lié au socle de l'appareil mais peut aussi pivoter sur lui-même de manière à régler le zéro des graduations sur une direction donnée.
Les graduations sont croissantes de 0 à 400 gon dans le sens horaire.
₪ 1.2 Terminologie des mesures d’angles horizontaux
L'appareil étant dans sa position de référence et le zéro de la graduation horizontale n'étant pas modifié après mise en station, l'opérateur effectue une lecture azimutale LA sur le point A puis une lecture LB sur B et en déduit l'angle ASB :
Définition :
Le gisement d'une direction AB est l'angle horizontal mesuré positivement dans le sens horaire entre l’axe des ordonnées du système de projection utilisé et cette direction AB.
On le note GAB Mathématiquement, c’est l’angle positif en sens horaire entre l’axe des ordonnées du repère et la droite (AB).
Un gisement est toujours compris entre 0 et 400 gon. GAB est l’angle entre le Nord (ordonnées) et la direction AB.
GBA est l’angle entre le Nord et la direction BA. La relation qui lie GAB et GBA est :
₪ 2. Utilisations des gisements
₪ 2.1 Calcul d’un gisement à partir de coordonnées cartésiennes
Considérons les coordonnées de deux points A (EA, NA) et B (EB, NB BB)
La relation suivante permet de calculer GAB :
Exercice n°1 :
Calculez à partir de la formule le gisement de la direction AB suivante avec :
A (10 ; 50) et B (60 ; 10) la droite SA dont l’opérateur a mesuré la longueur Dp. IL lit l’angle V correspondant, il mesure Dp et en déduit que :
₪ 2.2 Calcul de coordonnées cartésiennes à partir d’un gisement
En topographie, il est très fréquent de connaître un point S (ES, NS) et de chercher les coordonnées d’un point P visible depuis S.
On dit que P est rayonné depuis S si l’on peut mesurer la distance horizontale DSP et le gisement GSP. Quel que soit le quadrant, on peut alors calculer les coordonnées du point P par les formules suivantes :
Exercice n°2 :
S (680 379,84 ; 210 257,06) est donné en coordonnées Lambert (m), calculez les coordonnées de P telles que : DSP = 45,53 m et GSP = 172,622 gon.
₪ 3. Calcul et compensation des polygones
₪ 3.1 Définition
Un polygone est un ensemble de lignes de levés reliés entre elles dont on connaît la longueur de chacune et les angles définis entre elles. Un polygone est obligatoirement fermé sui lui-même et peut avoir un nombre de sommets quelconques. Les angles en chacun des sommets peuvent être des angles intérieurs ou extérieurs.
₪ 3.2 Ecart de fermeture et compensations angulaires
En reprenant l’exemple du polygone ci-dessus, on peut établir la fermeture angulaire définie par les mesures de terrain. Pour calculer un écart de fermeture angulaire, on fait la différence entre la somme brute des mesures et la somme que théoriquement doivent faire les angles d’un polygone de « n » cotés soient 200 gon x (n-2).
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